Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных  Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом m_p/m_S → 0, где m_p, m_S — массы планеты и Солнца. 

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точкаP траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph24/images/1-24-2.gif

Рисунок 1.24.2.Эллиптическая орбита планеты массой m << M. a – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

  

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph24/images/1-24-3.gif

Рисунок 1.24.3.Закон площадей – второй закон Кеплера

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790205-1.gif и его составляющие http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790205-2.gif и http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790215-3.gif Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790235-4.gif

Здесь http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790235-5.gif – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790315-6.gif и http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790315-7.gif

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790325-8.gif так как http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790325-9.gif

Из этих отношений следует: 

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790325-10.gif

Поэтому, если по второму закону Кеплера http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790335-11.gif то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790335-12.gif и афелии http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790345-13.gif направлены перпендикулярно радиус-векторам http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790345-14.gif и http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790345-15.gif из закона сохранения момента импульса следует: 

rPυP = rAυA.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790355-16.gif или http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/javagifs/63229980790365-17.gif

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph24/images/1-24-4.gif

Рисунок 1.24.4.Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы

Ссылки

  1. Википедия - свободная энциклопедия ru.wikipedia.org

Автор

Шкурко В.И.

группа 2-ТМ-55

    
This wiki is licensed under a Creative Commons 2.0 license
XWiki Enterprise 14.5 - Documentation