Поняття моменту інерції

Поняття моменту інерції тіла належить до основних і важливих понять у динаміці. Його ввів Л. Ейлер. У теоретичній механіці приймається гіпотеза про те, що маса твердого тіла розподіляється неперервно. Наведемо такі означення:

1.     Моментом інерції матеріальної точки відносно осі називають добуток маси цієї точки m на квадрат її відстані h до цієї осі, наприклад Oz:

                                                             Iz ­=mh2

                                                                                            (1)

2.     Моментом інерції системи, яка складається з n матеріальних точок відносно осі називають суму добутків мас точок системи на квадрати відстаней hi від точок до осі:

                                                              Iz=∑mihi2

                                                                                                        (2)

У разі неперервного розподілу маси замість суми буде інтеграл, що поширений на всю масу.

3.     Моментом інерції твердого тіла відносно осі, наприклад Oz, називають інтеграл, що поширений на всю масу і має вигляд

                                                             Iz=∫r2dm

(3)

У ряді випадків для обчислення моментів інерції користуються поняттям радіуса інерції, або плеча інерції. Радіусом інерції називають відстань ρ, на якій від осі обертання треба розмістити масу m тіла, що розглядається, зосередивши її в одній точці, щоб вона мала той самий момент інерції, що і розглядуване тіло:

                                                             ρ=√Iz/m                                                                                                                                             (4)

Радіус, або плече, інерції – це радіус такого порожнистого колового циліндра, який, будучи описаний навколо осі, має момент інерції, однаковий з моментом інерції даного тіла, якщо масу тіла рівномірно розподілити по бічній поверхні циліндра.

Різновиди моментів інерції

Розрізняють моменти інерції осьові, або аксіальні, полярні, планарні та відцентрові.

Для обчислення осьового моменту інерції точки її масу множать на квадрат відстані до осі, полярного – до заданої точки (полюса), планарного – до заданої площини.

Осьовий момент інерції тіла – це фізична величина, що характеризує міру інертності тіла під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. У разі обертання твердого тіла навколо нерухомої точки мірою інертності відносно миттєвої осі, що проходить через нерухому точку.

                                                              момент інерції.jpg   

Виведемо формули для визначення перерахованих моментів інерції. Розглянемо точку М тіла, елементарна маса якої dm  (див. рис.). Координати мочки М позначимо x,y,z . Згідно з визначенням відповідних моментів інерції їх обчислюють за такими формулами:

Осьові моменти інерції тіла

                                                             Ix=∫(y2+z2)dm

                                                             Iy=∫(x2+z2)dm 

                                                             Iz=∫(x2+y2)dm 

(5)

Полярний момент інерції тіла

                                                             Io=∫(x2+y2+z2)dm 

(6)

Планарні моменти інерції тіла відносно координатних площин

                                                              II=∫x2dm 

                                                             III=∫y2dm  

                                                             IIII=∫z2dm  

(7)

Відцентрові моменти інерції тіла

                                                             Ixy=∫xydm  

                                                              Ixz=∫xzdm   

                                                              Iyz=∫yzdm   

(8)

Відцентрові моменти інерції залежать від напрямку координатних осей і вибору початку координат. Тому, говорячи про відцентровий момент інерції у даній точці, розуміють, що початок координат збігається з цією точкою. Відцентрові моменти інерції можуть дорівнювати нулю і мати будь-який знак (плюс чи мінус).

Якщо відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, то осі називають головними осями інерції тіла в даній точці. Якщо ця точка розміщується в центрі мас, то осі є головними і центральними осями інерції.

Виведемо залежність між полярними, осьовими і планарними моментами інерції. Складаючи ліві й праві частини виразів (5) і враховуючи (6) , дістанемо

                                                             Ix+Iy+Iz=2Io

(9)

Тобто сума осьових моментів інерції дорівнює подвоєному полярному моменту інерції. Складемо ліві й праві частини виразів (7):

                                                             II+III+IIII=Io 

(10)

Тобто сума планарних моментів інерції дорівнює полярному моменту інерції. Iз виразів (5)-(8) випливає також ряд нерівностей. Наприклад,

                                                             Ix+Iy≥ Iz  

                                                              Ix-Iy≤ Iz   

                                                              Ix>Iyz

                                                             Iy> Ixz

                                                             Iz>Ixy

(11)

Неважко помітити, що осьові моменти інерції задовольняють співвідношення між сторонами трикутника. Тобто на осьових моментах інерції як на сторонах можна побудувати трикутник.

Посилання

"Теоретична механіка" М.А.Павловський

Автор

Вікторія Дерюга

    
This wiki is licensed under a Creative Commons 2.0 license
XWiki Enterprise 14.9 - Documentation