Момент інерції (Викимеханика.Момент інерції)

= Поняття моменту інерції =

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Поняття моменту інерції тіла належить до основних і важливих понять у динаміці. Його ввів Л. Ейлер. У теоретичній механіці приймається гіпотеза про те, що маса твердого тіла розподіляється неперервно. Наведемо такі означення:

7

8

(% class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="text-indent:-18.0pt;mso-list:l0 level1 lfo1" %)

9

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~";mso-ansi-language:UK" %)1.(% lang="UK" style="font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: ~"Times New Roman~" ~"serif~"; mso-fareast-font-family: ~"Times New Roman~"; mso-ansi-language: UK; font: 7pt ~"Times New Roman~"" %) (% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)//Моментом інерції матеріальної точки// відносно осі називають добуток маси цієї точки (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//m//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)// //(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)на квадрат її відстані (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//h//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)// //(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)до цієї осі, наприклад (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//Oz//(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %):

10

11

(% class="MsoListParagraphCxSpMiddle" %)

12

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)// //(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//I,,z ,,=mh^^2^^//

13

14

(% align="right" class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-align:right; tab-stops:center 251.85pt left 411.75pt" %)

15

(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:EN-US" %)//^^ ^^//(1)

16

17

(% class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent:-18.0pt;mso-list:l0 level1 lfo1" %)

18

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~";mso-ansi-language:UK" %)2.(% lang="UK" style="font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: ~"Times New Roman~" ~"serif~"; mso-fareast-font-family: ~"Times New Roman~"; mso-ansi-language: UK; font: 7pt ~"Times New Roman~"" %) (% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)//Моментом інерції системи//, яка складається з (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//n//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %)// //(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)матеріальних точок відносно осі називають суму добутків мас точок системи на квадрати відстаней (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//h,,i,,//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %)// //(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)від точок до осі:

19

20

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(%%) I,,z,,=∑m,,i,,h,,i,,^^2^^

21

22

(% align="right" class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-align:right; tab-stops:426.0pt" %)

23

(% style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~";mso-fareast-theme-font:minor-fareast" %)// //(2)

24

25

(% class="MsoListParagraphCxSpMiddle" %)

26

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)У разі неперервного розподілу маси замість суми буде інтеграл, що поширений на всю масу.

27

28

(% class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent:-18.0pt;mso-list:l0 level1 lfo1" %)

29

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~";mso-ansi-language:UK" %)3.(% lang="UK" style="font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: ~"Times New Roman~" ~"serif~"; mso-fareast-font-family: ~"Times New Roman~"; mso-ansi-language: UK; font: 7pt ~"Times New Roman~"" %) (% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)//Моментом інерції твердого тіла// відносно осі, наприклад(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %) (% lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language: EN-US" %)//Oz//(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%; font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %), називають інтеграл, що поширений на всю масу і має вигляд

30

31

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="font-size: 15px; line-height: 17px; text-align: center; " %)I(% style="line-height: 17px; text-align: center; " %),,z,,(% style="font-size: 15px; line-height: 17px; text-align: center; " %)=∫r(% style="line-height: 17px; text-align: center; " %)^^2^^(% style="font-size: 15px; line-height: 17px; text-align: center; " %)dm

32

33

(% align="right" class="MsoListParagraphCxSpLast" style="text-align:right" %)

34

(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:EN-US" %)(3)

35

36

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

37

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)У ряді випадків для обчислення моментів інерції користуються поняттям радіуса інерції, або плеча інерції. //Радіусом інерції// називають відстань (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//ρ//(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %), на якій від осі обертання треба розмістити масу (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//m//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)// //(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)тіла, що розглядається, зосередивши її в одній точці, щоб вона мала той самий момент інерції, що і розглядуване тіло:

38

39

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

40

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="font-size: 15px; line-height: 17px;" %)ρ=√I,,z,,/m (4)

41

42

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

43

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Радіус, або плече, інерції – це радіус такого порожнистого колового циліндра, який, будучи описаний навколо осі, має момент інерції, однаковий з моментом інерції даного тіла, якщо масу тіла рівномірно розподілити по бічній поверхні циліндра.

44

45

= Різновиди моментів інерції =

46

47

(% style="text-align: justify" %)

48

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Розрізняють моменти інерції //осьові//, або //аксіальні//, //полярні//, //планарні// та //відцентрові//.

49

50

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

51

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Для обчислення осьового моменту інерції точки її масу множать на квадрат відстані до осі, полярного – до заданої точки (полюса), планарного – до заданої площини.

52

53

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

54

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)//Осьовий момент інерції тіла//(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height: 115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %) – це фізична величина, що характеризує міру інертності тіла під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. У разі обертання твердого тіла навколо нерухомої точки мірою інертності відносно миттєвої осі, що проходить через нерухому точку.

55

56

(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; text-indent: 28px; " %) [[image:момент інерції.jpg]] (%%)

57

58

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

59

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Виведемо формули для визначення перерахованих моментів інерції. Розглянемо точку М тіла, елементарна маса якої(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %) (% lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language: EN-US" %)//dm//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%; font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %) (% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %) (див. рис.). Координати мочки М позначимо(% lang="UK" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %) (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//x//(% style="font-size:14.0pt;line-height: 115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %)//,//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//y//(% style="font-size:14.0pt;line-height: 115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %)//,//(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)//z//(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %) . Згідно з визначенням відповідних моментів інерції їх обчислюють за такими формулами:

60

61

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

62

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)Осьові моменти інерції тіла

63

64

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

65

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="font-size: 15px; line-height: 17px;" %)I,,x,,=∫(y^^2^^+z^^2^^)dm

66

67

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

68

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)I,,y,,=∫(x(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)+z(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %))dm(%%)

69

70

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

71

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %),,z,,(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)=∫(x(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)+y(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %))dm(%%)

72

73

(% align="right" class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:right; text-indent:21.3pt" %)

74

(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%; font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)(5)

75

76

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

77

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)Полярний момент інерції тіла

78

79

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

80

(% lang="UK" style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)I(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,o,,(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)=∫(x(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)+y(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)^^2^^+z^^2^^(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %))dm(% style="text-indent: 21.3pt; " %)

81

82

(% align="right" class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:right; text-indent:21.3pt" %)

83

(% style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~";mso-fareast-theme-font: minor-fareast" %)(6)

84

85

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

86

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)Планарні моменти інерції тіла відносно координатних площин

87

88

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

89

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px" %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)I,,I,,=∫x(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)dm(%%)

90

91

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

92

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px" %),,II,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)=∫y(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)dm(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %) (%%)

93

94

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

95

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px" %),,III,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)=∫z(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)^^2^^(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)dm(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %) (%%)

96

97

(% align="right" class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:right; text-indent:21.3pt" %)

98

(% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%; font-family:~"Times New Roman~",~"serif~";mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~"; mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-ansi-language:EN-US" %)(7)

99

100

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

101

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)Відцентрові моменти інерції тіла

102

103

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

104

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px" %),,xy,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)=∫xydm(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %) (%%)

105

106

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

107

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px" %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial" %),,xz,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)=∫xzdm(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %) (% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %) (%%)

108

109

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

110

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px" %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial" %),,yz,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)=∫yzdm(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %) (% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %) (%%)

111

112

(% align="right" class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:right; text-indent:21.3pt" %)

113

(% style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-fareast-font-family:~"Times New Roman~";mso-fareast-theme-font: minor-fareast" %)(8)

114

115

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

116

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Відцентрові моменти інерції залежать від напрямку координатних осей і вибору початку координат. Тому, говорячи про відцентровий момент інерції у даній точці, розуміють, що початок координат збігається з цією точкою. Відцентрові моменти інерції можуть дорівнювати нулю і мати будь-який знак (плюс чи мінус).

117

118

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

119

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Якщо відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, то осі називають //головними осями інерції тіла в даній точці//. Якщо ця точка розміщується в центрі мас, то осі є //головними і центральними осями інерції//.

120

121

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

122

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Виведемо залежність між полярними, осьовими і планарними моментами інерції. Складаючи ліві й праві частини виразів (5) і враховуючи (6) , дістанемо

123

124

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

125

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="font-size: 15px; line-height: 17px;" %)I,,x,,+(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %),,y,,(% style="font-size: 15px; font-style: normal; line-height: 17px; " %)+I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %),,z,,=2I,,o,,

126

127

(% align="right" class="MsoNormal" style="margin-left: -21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; line-height: 19px; text-align: right; text-indent: 21.3pt; " %)

128

(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: 'Times New Roman', serif; line-height: 21px; " %)(9)

129

130

131

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

132

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Тобто сума осьових моментів інерції дорівнює подвоєному полярному моменту інерції. Складемо ліві й праві частини виразів(% style="font-size:14.0pt;line-height:115%; font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %) (7):

133

134

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

135

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px" %),,I,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)+I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,II,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; line-height: 17px; " %)+I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,III,,=I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px" %),,o,,(%%)

136

137

(% class="MsoNormal" style="text-align: right;margin-left: -21.3pt; text-indent: 21.3pt; " %)

138

(% style="font-family: ~"Times New Roman~" serif; font-size: 19px; line-height: 21px" %)(10)

139

140

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

141

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Тобто сума планарних моментів інерції дорівнює полярному моменту інерції.(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %) (% lang="EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:EN-US" %)I(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)з виразів (% style="font-size:14.0pt; line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"" %)(5)-(8) (% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:~"Times New Roman~",~"serif~"; mso-ansi-language:UK" %)випливає також ряд нерівностей. Наприклад,

142

143

(% style="text-align: justify; " %)

144

(% lang="UK" style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; text-align: -webkit-auto; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; text-align: -webkit-auto; line-height: 17px; " %)I(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; text-align: -webkit-auto; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px" %),,x,,(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; text-align: -webkit-auto; line-height: 17px; " %)+I(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; text-align: -webkit-auto; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,y≥,,(% style="text-align: center; text-indent: 21.3pt; " %) (% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: -webkit-auto; line-height: 17px; " %)I(% style="text-indent: 21.3pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: -webkit-auto; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,z,,(% style="text-align: center; text-indent: 21.3pt; " %)

145

146

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

147

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial" %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial" %),,x,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)-I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,y≤,,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: center; " %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,z,,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: center; " %) (%%)

148

149

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

150

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial" %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial" %),,x>,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,y,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,z,,

151

152

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

153

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,y>,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: center; " %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I,,x,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,z,,

154

155

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-indent:21.3pt" %)

156

(% lang="UK" style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14pt; font-family: ~"Times New Roman~" serif; line-height: 21px" %)// //(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %)I,,z>,,I,,x,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 15px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; line-height: 17px; " %),,y,,

157

158

(% class="MsoNormal" style="text-align: right;margin-left: -21.3pt; text-indent: 21.3pt; " %)

159

(% style="font-size: 19px; line-height: 21px;" %)(11)

160

161

(% class="MsoNormal" style="margin-left:-21.3pt;text-align:justify;text-indent: 21.3pt" %)

162

(% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Неважко помітити, що осьові моменти інерції задовольняють співвідношення між сторонами трикутника. Тобто на осьових моментах інерції як на сторонах можна побудувати трикутник.

163

164

(% style="text-align: justify" %)

165

= (% lang="UK" style="font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family: ~"Times New Roman~",~"serif~";mso-ansi-language:UK" %)Посилання(%%) =

166

167

(% style="text-align: justify;" %)

168

(((

169

(% style="font-family: ~"Times New Roman~" serif; font-size: 19px; line-height: 21px" %)"Теоретична механіка" М.А.Павловський