• Виведення теореми
• Теорема Ейлера
• Межі застосування
• Автор

Виведення теореми

Припустимо, система матеріальних точок становить собою суцільне середовище, наприклад рідину, що тече по трубі та заповнює у певний момент часу деякий об′єм між двома перерізами труби, площі яких σ₁ та σ₂. Позначимо через v₁ і v₂ середні швидкості рідини у зазначених перерізах. Густину середовища в перерізах позначимо через γ₁ та γ₂. Тоді  маси рідини, що протікає через зазначені  перерізи за одиницю часу, відповідно дорівнюватимуть: γ₁v₁σ₁, γ₂v₂σ₂. Якщо вважати, що течія рідини стала, то в цьому разі через кожен переріз за одиницю часу протікатиме однакова кількість рідини: μ=γ₁v₁σ₁=γ₂v₂σ₂, де через μ позначена секундна маса рідини, що протікає через будь-який переріз труби.

    Оскільки течія стала, то за час dt через перерізи σ₁ і σ₂ пройдуть маси μdt. Їхні кількості руху будуть μdtv₁ і μdtv2, а зміна кількості руху dQ маси середовища, що розглядається, за той самий час визначиться співвідношенням: 

dQ=μdtv2 - μdtv1

Звідси

dQ/dt=µ(v₂-v₁).

Крім того, за теоремою про зміну кількості руху похідна за часом від кількості руху дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему. У даному випадку на середовище діють дву групи сил:

1. Сили масові, або об'ємні, F_об, що діють на кожну частинку всередині виділеного об'єму. До таких сил належить насамперед сили тяжіння.
2. Сили поверхневі F_пов, що діють лише на частинки, які лежать на поверхні об'єму. Це сили тиску стінок на середовище, сили тертя середовища і стінок.

    Тоді, застосовуючі до середовища, що розглядається , теорему про зміну кількості руху і враховуючи рівність (dQ/dt=µ(v₂-v₁).), одержимо: µ(v₂-v₁)=F_об+F_пов.

    Перенісши всі члени цього виразу в один бік, запишемо цого у формі: μv₁ - μv₂+F_об+F_пов=0.

Теорема Ейлера

Ця рівність є математичним записом теореми Ейлера, яка звучить так: сума головних векторів об'ємних, поверхневих сил і напрямлених в середину певного об'єму секундних кількостей рухів рідини, що протікає через два поперечні перерізи труби, дорівнює нулю.

Межі застосування

Ця теорема застосовується в гідравліці.

Автор