Редактировал(а) Dmitry Fedin 2018/10/19 11:41
Последние авторы
1 {{toc/}}
2
3 = **Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме** =
4
5 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
6 Напишем теорему об изменении количества движения МТ, выделив внешние и внутренние силы
7
8 (% style="text-align: justify; " %)
9 d(m,,k,,v,,k),,/dt=F,,k,,^^(e)^^+(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %)F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %),,k,,^^(і)^^
10
11 (% class="MsoNormal" %)
12 где (% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; text-indent: 20px; " %)F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; text-indent: 20px; " %),,k,,^^(e)^^(%%) и (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; text-indent: 20px; " %)F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,k,,^^(і)^^(%%) - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на МТ.
13
14 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
15 Составим по аналогии эти выражения и для других МТ системы, сложим их левые и правые части, соответственно,
16
17 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
18 ∑((% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; " %)d(m(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %),,k,,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; " %)v(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %),,k),,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; " %)/dt)=∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %),,k,,^^(e)^^(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; " %)+∑(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %)F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; " %),,k,,^^(і)^^
19
20 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
21 Заметим, что
22
23 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
24 (% style="text-align: center; text-indent: 15.05pt; " %) (%%)∑((% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %)d(m(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: justify; " %),,k,,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %)v(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: justify; " %),,k),,(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %)/dt)=d/dt(∑(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; " %)m(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %),,k,,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; " %)v(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; " %),,k)=dQ/dt, ,,∑(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: justify; " %)F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; " %),,k,,^^(і)^^=0
25
26 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
27 Следовательно,
28
29 (% style="text-align: right; text-indent: 15.05pt; " %) (% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-align: justify; text-indent: 20px; " %)dQ/dt=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-indent: 20px; text-align: justify; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; text-align: justify; " %),,k,,^^(e)^^
30
31 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
32 Получена теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: **//производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему//**.
33
34 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
35 Спроектируем соотношение на координатные оси
36
37 (% style="text-align: justify; " %)
38 (% style="text-indent: 15.05pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %)dQ,,x,,/dt=(% style="text-indent: 15.05pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; " %)∑F(% style="text-indent: 15.05pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; " %),,kx,,^^(e)^^(% style="text-indent: 15.05pt; " %)
39
40 (% style="text-align: justify; " %)
41 (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-indent: 20px; " %)dQ,,y,,/dt=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,ky,,^^(e)^^(%%)
42
43 (% style="text-align: justify; " %)
44 (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-indent: 20px; " %)dQ,,z,,/dt=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,kz,,^^(e)^^(%%)
45
46 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
47 то есть **//производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на систему//**.
48
49 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
50 Умножив обе части соотношения на //dt//, получим
51
52 (% style="text-align: justify; " %)
53 (% style="text-align: right; text-indent: 15.05pt; " %) (% style="font-size: 14px; font-style: normal; text-indent: 20px; " %)dQ=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,k,,^^(e)^^dt
54
55 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
56 то есть **//дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов внешних сил, действующих на систему//**.
57
58 = Теорема об изменении количества движения в конечно-разностной форме =
59
60 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
61 В проекциях на координатные оси
62
63 (% style="text-align: right; text-indent: 15.05pt; " %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: right; text-indent: 15.05pt; " %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; text-indent: 20px; " %)dQ,,x,,=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,kx,,^^(e)^^dt
64
65 (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: right; text-indent: 15.05pt; " %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; text-indent: 20px; " %)dQ,,y,,=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,ky,,^^(e)^^dt(%%)
66
67 (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: right; text-indent: 15.05pt; " %) (% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; text-indent: 20px; " %)dQ,,z,,=(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: justify; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; border-style: initial; border-color: initial; text-indent: 20px; border-style: initial; border-color: initial; " %),,kz,,^^(e)^^dt(%%)
68
69 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
70 Беря интеграл от обеих частей, имеем
71
72 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
73 Q-Q,,0,,=∑S,,k,,^^(e)^^(% style="text-align: center; text-indent: 15.05pt; " %)
74
75 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
76 Получена теорема об изменении количества движения механической системы в конечной форме: **//изменение количества движения системы за какой-то промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за то же время.//**
77
78 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt; mso-outline-level:1" %)
79 В проекциях на координатные оси аналогично
80
81 Q,,x,,-Q(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; " %),,0x,,(%%)=∑S(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; " %),,kx,,^^(e)^^(% style="text-indent: 15.05pt; border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-align: center; " %)
82
83 Q,,y,,-Q(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; " %),,0y,,(%%)=∑S(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; " %),,ky,,^^(e)^^(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-indent: 15.05pt; text-align: center; " %) (%%)
84
85 Q,,z,,-Q(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; " %),,0z,,(%%)=∑S(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-size: 14px; " %),,kz,,^^(e)^^(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; text-indent: 15.05pt; text-align: center; " %) (%%)
86
87 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
88 Отметим следующее.
89
90 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
91 ~1. Внутренние силы не входят в теорему об изменении количества движения системы и, следовательно, не влияют на его величину.
92
93 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
94 2. При некоторых условиях для внешних сил можно получить первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения системы.
95
96 (% style="text-align: justify" %)
97 = Закон сохранения количества движения =
98
99 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt; mso-outline-level:1" %)
100 **//Следствие//**//. //Закон сохранения количества движения системы.
101
102 (% class="MsoNormal" style="text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt:1.2pt" %)
103 Положим, что ∑F,,k,,^^(e)^^=0, тогда Q=∑m,,k,,v,,k,,=const.
104
105 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
106 Если в течение некоторого времени главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то количество движения системы за это время остается постоянным.
107
108 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
109 Для проекций на координатные оси аналогично. Например, если (% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %)∑F(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %),,kx,,^^(e)^^(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %)=0(% style="text-indent: 15.05pt; " %), то (% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %)Q=∑m(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %),,k,,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %)v(% style="border-style: initial; border-color: initial; font-style: normal; font-size: 14px; " %),,kx,,(% style="font-size: 14px; font-style: normal; " %)=const
110
111
112 (% class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-indent:15.05pt;mso-line-height-alt: 1.2pt" %)
113 Если в течение некоторого времени алгебраическая сумма проекций на какую-либо ось внешних сил, действующих на систему, остается равной нулю, то проекция на ту же ось количества движения системы за это время остается постоянной величиной.
114
115 = Автор =
116
117 Григорьев Александр 2-ТМ-55