Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом 
/
→ 0, где , — массы планеты и Солнца.
Первый закон Кеплера (закон эллипсов)
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением 
, где 
— расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), 
— большая полуось. Величина 
называется эксцентриситетом эллипса. При 
и 
эллипс превращается в окружность.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.
Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.
|
Рисунок 1.24.3.Закон площадей – второй закон Кеплера |
Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела 
и его составляющие 
и 
Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:
 |
Здесь 
– угловая скорость.
Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов 
и 
|
так как 
Из этих отношений следует:
 |
Поэтому, если по второму закону Кеплера 
то и момент импульса L при движении остается неизменным.
В частности, поскольку скорости планеты в перигелии 
и афелии 
направлены перпендикулярно радиус-векторам 
и 
из закона сохранения момента импульса следует:
| rPυP = rAυA. |
Третий закон Кеплера (гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.
, где 
и 
— периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а 
и 
— длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: 
, где 
— масса Солнца, а 
и 
— массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Автор:
Шкурко В.И.
группа 2-ТМ-55