Виведення теореми

Припустимо, система матеріальних точок становить собою суцільне середовище, наприклад рідину, що тече по трубі та заповнює у певний момент часу деякий об′єм між двома перерізами труби, площі яких σ1 та σ2. Позначимо через v1 і v2 середні швидкості рідини у зазначених перерізах. Густину середовища в перерізах позначимо через γта γ2. Тоді  маси рідини, що протікає через зазначені  перерізи за одиницю часу, відповідно дорівнюватимуть: γ1v1σ1, γ2v2σ2. Якщо вважати, що течія рідини стала, то в цьому разі через кожен переріз за одиницю часу протікатиме однакова кількість рідини: μ=γ1v1σ12v2σ2, де через μ позначена секундна маса рідини, що протікає через будь-який переріз труби.

    Оскільки течія стала, то за час dt через перерізи σ1 і σ2 пройдуть маси μdt. Їхні кількості руху будуть μdtvі μdtv2, а зміна кількості руху dQ маси середовища, що розглядається, за той самий час визначиться співвідношенням: 

dQ=μdtv2 - μdtv1

Звідси

dQ/dt=µ(v2-v1).

Крім того, за теоремою про зміну кількості руху похідна за часом від кількості руху дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему. У даному випадку на середовище діють дву групи сил:

  1. Сили масові, або об'ємні, Fоб, що діють на кожну частинку всередині виділеного об'єму. До таких сил належить насамперед сили тяжіння.
  2. Сили поверхневі Fпов, що діють лише на частинки, які лежать на поверхні об'єму. Це сили тиску стінок на середовище, сили тертя середовища і стінок.

    Тоді, застосовуючі до середовища, що розглядається , теорему про зміну кількості руху і враховуючи рівність (dQ/dt=µ(v2-v1).), одержимо: µ(v2-v1)=Fоб+Fпов.

    Перенісши всі члени цього виразу в один бік, запишемо цого у формі: μv1 - μv2+Fоб+Fпов=0.

Теорема Ейлера

Ця рівність є математичним записом теореми Ейлера, яка звучить так: сума головних векторів об'ємних, поверхневих сил і напрямлених в середину певного об'єму секундних кількостей рухів рідини, що протікає через два поперечні перерізи труби, дорівнює нулю.

Межі застосування

Ця теорема застосовується в гідравліці.

Автор

Ивасенко Станислав

гр. 2-ТМ-55

    
This wiki is licensed under a Creative Commons 2.0 license
XWiki Enterprise 14.5 - Documentation