Теорема Ейлера про рух рiдини
Виведення теореми
Припустимо, система матеріальних точок становить собою суцільне середовище, наприклад рідину, що тече по трубі та заповнює у певний момент часу деякий об′єм між двома перерізами труби, площі яких σ1 та σ2. Позначимо через v1 і v2 середні швидкості рідини у зазначених перерізах. Густину середовища в перерізах позначимо через γ1 та γ2. Тоді маси рідини, що протікає через зазначені перерізи за одиницю часу, відповідно дорівнюватимуть: γ1v1σ1, γ2v2σ2. Якщо вважати, що течія рідини стала, то в цьому разі через кожен переріз за одиницю часу протікатиме однакова кількість рідини: μ=γ1v1σ1=γ2v2σ2, де через μ позначена секундна маса рідини, що протікає через будь-який переріз труби.
Оскільки течія стала, то за час dt через перерізи σ1 і σ2 пройдуть маси μdt. Їхні кількості руху будуть μdtv1 і μdtv2, а зміна кількості руху dQ маси середовища, що розглядається, за той самий час визначиться співвідношенням:
dQ=μdtv2 - μdtv1
Звідси
dQ/dt=µ(v2-v1).
Крім того, за теоремою про зміну кількості руху похідна за часом від кількості руху дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему. У даному випадку на середовище діють дву групи сил:
- Сили масові, або об'ємні, Fоб, що діють на кожну частинку всередині виділеного об'єму. До таких сил належить насамперед сили тяжіння.
- Сили поверхневі Fпов, що діють лише на частинки, які лежать на поверхні об'єму. Це сили тиску стінок на середовище, сили тертя середовища і стінок.
Тоді, застосовуючі до середовища, що розглядається , теорему про зміну кількості руху і враховуючи рівність (dQ/dt=µ(v2-v1).), одержимо: µ(v2-v1)=Fоб+Fпов.
Перенісши всі члени цього виразу в один бік, запишемо цого у формі: μv1 - μv2+Fоб+Fпов=0.
Теорема Ейлера
Ця рівність є математичним записом теореми Ейлера, яка звучить так: сума головних векторів об'ємних, поверхневих сил і напрямлених в середину певного об'єму секундних кількостей рухів рідини, що протікає через два поперечні перерізи труби, дорівнює нулю.
Межі застосування
Ця теорема застосовується в гідравліці.
Автор
Ивасенко Станислав
гр. 2-ТМ-55