Теорема Гюйгенса - Штейнера.
Формулировка теоремы
Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
где
- — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
- — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
- — масса тела,
- — расстояние между указанными осями.
Вывод теоремы
Момент инерции, по определению:
Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов:
- ,
где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:
Вынося за сумму , получим:
Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:
Тогда:
Откуда и следует искомая формула:
- ,
где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Пример применения
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью ) равен
Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен
где — расстояние между искомой осью и осью . В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле :
Пересчёт тензора инерции
Теорема Гюйнеса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор относительно произвольной точки из тензора относительно центра масс. Пусть — смещение от центра масс, тогда
где
- — вектор смещения от центра масс, а — символ Кронекера.
Как видно, для диагональных элементов тензора (при ) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.
Посилання
- Википедия - свободная энциклопедия ru.wikipedia.org
Автор
Автор: Сова Е.О. (2-ТМ-55)